$\tan ({\sin }^{-1}\frac{3}{5}-2{\cos }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}})=\tan ({\tan }^{-1}\frac{3}{4}-2{\tan }^{-1}\frac{1}{2})$

$=\tan ({\tan }^{-1}\frac{3}{4}-{\tan }^{-1}\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2})=\tan ({\tan }^{-1}\frac{3}{4}-{\tan }^{-1}\frac{4}{3})$

$=\tan \left({\tan }^{-1}\frac{-7}{24}\right)=\frac{-7}{24}$